2023考研数学一第13题解析
<article class="syl-article-base tt-article-content syl-page-article syl-device-pc"><div class="pgc-img"><img src="https://p3-sign.toutiaoimg.com/tos-cn-i-qvj2lq49k0/ceb0ad63683a4597a2a10508dfc2cd9c~noop.image?_iz=58558&from=article.pc_detail&x-expires=1674288903&x-signature=irOSB9B6EwQf%2BJNdDEtfMuqVKrk%3D" img_width="1242" img_height="1656" image_type="1" mime_type="image/jpeg" web_uri="tos-cn-i-qvj2lq49k0/ceb0ad63683a4597a2a10508dfc2cd9c" class="syl-page-img" style="height: auto;"><p class="pgc-img-caption">这是题目</p></div><p data-track="1">这是题目</p><p data-track="2">这个题目，既可以用常规方法，套用公式，直接算出各项系数的公式，再算出偶数项之和。</p><p data-track="3">也可以利用函数在1点 和0点 的值，展开成傅里叶级数后 和展开前相等。而且x=0点，所有cos nπx 都等于1，所以函数值等于 常数项 加 奇数项 系数和加偶数项系数 的和。</p><p data-track="4">在x=1点，cos nπx 当n 为奇数时，就是cos π，cos3π，cos5π，。。。 的值 都是 -1</p><p data-track="5">当n 为偶数时，就是 cos 2π，cos4π，cos6π。。。</p><p data-track="6">的值都为1</p><p data-track="7">所以，函数值 在1点的值等于，等于常数项，减去 奇数项系数和，加上偶数项系数和。</p><p data-track="8">这样，就可以列出一个二元一次方程组，未知数分别为奇数项系数和 与 偶数项系数和，分别叫成x,y 解出方程来就算出来了。</p><div class="pgc-img"><img src="https://p3-sign.toutiaoimg.com/tos-cn-i-qvj2lq49k0/a52f135c6f984f71adea1573dcb60b1e~noop.image?_iz=58558&from=article.pc_detail&x-expires=1674288903&x-signature=ePHcbW0VZtGybL6eeRz2GF4l0vU%3D" img_width="1242" img_height="1656" image_type="1" mime_type="image/jpeg" web_uri="tos-cn-i-qvj2lq49k0/a52f135c6f984f71adea1573dcb60b1e" class="syl-page-img" style="height: auto;"><p class="pgc-img-caption">解析延拓成偶函数</p></div><p data-track="9">解析延拓 成偶函数</p><p data-track="10">这个题目，函数只定义在半个周期上，对于这样的情况，既可以解析延拓为偶函数展开，也可以延拓为奇函数展开，看题目，要求展开成 cos，所以解析延拓成偶函数。</p><p data-track="11">上图就是延拓以后的函数图形。</p><p data-track="12">这样延拓以后，函数没有间断点，所以傅里叶级数在每一点都等于函数值，当然包括0点和1点。</p><p data-track="13">傅里叶级数的常数项 应该等于 一个周期内，函数的积分，再除以函数的周期长度。也就是一个周期内的平均高度。</p><p data-track="14">在 这里，函数一个周期为2，一个周期内的积分 是 三角形的面积，底边为周期长度2，高为1，总面积为1，周期长度为2。所以平均高度为1/2。 所以级数展开后常数项 应该为</p><p data-track="15" class="syl-line-pure-english">1/2</p><div class="pgc-img"><img src="https://p3-sign.toutiaoimg.com/tos-cn-i-qvj2lq49k0/3ebcb1b06e8e44e090d02057b8e88299~noop.image?_iz=58558&from=article.pc_detail&x-expires=1674288903&x-signature=77nw9fWF3sCahH55ly%2BpY2HMMmY%3D" img_width="1242" img_height="1656" image_type="1" mime_type="image/jpeg" web_uri="tos-cn-i-qvj2lq49k0/3ebcb1b06e8e44e090d02057b8e88299" class="syl-page-img" style="height: auto;"><p class="pgc-img-caption">列出方程</p></div><p data-track="16">列出方程</p><p data-track="17">按照上边的说明，列出以上方程组。</p><div class="pgc-img"><img src="https://p3-sign.toutiaoimg.com/tos-cn-i-qvj2lq49k0/84088727989c4172813e425adcaaad26~noop.image?_iz=58558&from=article.pc_detail&x-expires=1674288903&x-signature=8tAw5roxAeXeDws41KValcZkL2g%3D" img_width="1242" img_height="1656" image_type="1" mime_type="image/jpeg" web_uri="tos-cn-i-qvj2lq49k0/84088727989c4172813e425adcaaad26" class="syl-page-img" style="height: auto;"><p class="pgc-img-caption">解出方程</p></div><p data-track="18">解出方程</p><p data-track="19">解出方程组，得出 偶数项系数和为0</p></article><br>最后别忘了到沪学网下载免费课程！
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