数学：专家分析08年的数学会延续今年的趋势
主持人：亲爱的各位搜狐网友大家晚上好，今天搜狐教育特别邀请到海文学校的数学考研，辅导名师李永乐、李正元、和袁荫棠三位老师，来到我们嘉宾聊天室。为广大网友在全国第一时间评点07年数学真题。网友们普遍反映今天的试题计算量很大，请三位老师先总体分析一下今年数学试题。李正元：我觉得从高数我也看到这些题目，今年的高数题目的难易程度应该来说比去年略有点提高，比方说有四道解答题这里面一共有四道，第一道题是求具体的一个二元函数，在给定的有界闭区域上的最大值和最小值，这道是基本的题目，当然以前考的并不多，但是这个题目算是基本的。第二道题我讲的是计算题，是求的第二类曲面积分，是计算第二类在一个具体的曲面上的积分。曲面不封闭，可以添加辅助面，利用高斯公式或者直接计算都是可行的，这题属于考试频率比较高的一个题目，当然题目不是非常简单，应该说不是一个很难的题，也是属于考试频率比较高的一个题目。第三个是一个证明题，在一定条件下证明两个函数，在中间某一点，二阶导数是相等的，这与证明不等式相比这个要比那个要难。当然有一些方法，我们经常还是用到了一些基本的方法，跟不等式的比较，这个证明应该算是实际上要难些。因为它毕竟要有一些逻辑思维，特别是如何来证明，所谓一个函数的二阶导数取值为零。第四道题是一个级数问题，可以说是一个某种意义上新的题型，给定一个幂级数，和函数满足二阶线性变系数方程，求这个和函数的表达式。这个在某种意义上跟以往考试来说有一种新的题型，大纲上虽然并不要求所谓二阶线性方程的幂级数解法，这个大纲上是不要求的，它不是直接考这个题，而是告诉你这个满足一个二阶方程，你求导两次后代进去之后，比较系数就可得到所证的递推公式。所以这个题型应该相对来说是跟以往比较是新一点，所以这四个解答题比较而言，它的难度比去年要略为高点。我通过四道题的比较，两道也是算是一个常见题型。第三道题型从题型本身，所谓证明函数的零点存在性这个问题是多见的，但是它的方法比较灵活。然后从选择题里面也有一些题目，你是需要动一些脑子的，并不是一眼可以看出来的。现在有一些题目多需要动脑子，加以仔细分析，才能得到结论。
李永乐：线性代数，我想今年最大的一个特点就是从数一到数四考题全一样。往年的话，代数题虽然重复的题比较多，但是还是有一些题不一样。今年是五道题全都一样，数一数二数三数四，五道题完全一样。这是一个新的情况。我想反映的就是在代数这儿要求是统一的。从难易度来看，我想跟06年大体持平，题目难易度大体持平。数二跟数四因为考试大纲的变化，增加了一个二次型，今年考题里面反映出的就考了一个合同的概念。我想对数二跟数四考生来说，如果没有上辅导班，或者自己没有很好复习的话，可能这个题要出毛病。如果没有很好复习这个题目会有困难。数一跟数三这种题往年都考过。两个解答题，我想有一个解答题是跟往年的考题有些类似的地方，但是它进行了变化，有一些新的知识点在里面。就是考两个方程组公共解问题。这个公共解以往考过，但是我想今年这道考题还是有一些新的信息在里面。另外一道是代数里面最重要的，就是特征值考的是实对称矩阵特征值。要找出两个相关联矩阵特征值之间的相互联系和转换。这种思想方法我想在代数里面是基本的。从两个解答题来看，我想出的还是比较有意思。如果同学很好复习的话，做这样的题不应当有太大的困难。
李正元：我再补充一点，不仅代数如此，高等数学今年的趋向，比如像06年高数，数三数四基本一样，不一样的就是一个级数，数三没有级数，今年这个证明题，数一数二数三数四全部都用上了，证明题全部都一样的，只不过数一没有分两问，就是难度降一点，基本上算一样。选择填空也有相当一部分是一样的。就是一种看法了，也就是说高数之间它们的区别一个是多少的区别，例如，积分学数一要求就多得多。有同样要求的地方难易程度题目可能是一样的，区别应该是以多少，而不是以共同要求的难易程度，就很难说到区别，大纲上有些地方只是强弱不一样，实际上这就很难在题目上体现出来。大纲上就是所谓的了解，所谓的理解有的区别，这个在考试上只意味着频率，并不意味着难度。
袁荫棠：从整个试卷来看，各个题型的数种和次序今年都有变化，就是选择题由往年8个变成10个，我觉得解答题的减少和选择题的增加，是要加强对基本概念、基本方法、基本理论的要求，这方面基础的东西要注意加强。另外就是从题目的题型来看，过去数三是两个填空一个选择，现在数三跟数一跟数四完全统一了。统一成两个选择，一个填空，而且数一、数三、数四的选择题、填空题完全一样，所以我同意刚才两位老师说的，只要是考试大纲上的内容，不管在文字上要求的程度有什么区别。比如了解这个知识，还是理解这个知识，是知道这个知识，还是要掌握这个知识，实际上只要有了这个内容，那么作为数一、数三、数四这个概率的考试应该是同样的。因为它题目完全一样。再有一个分值也有变化。比如说概率的题，就是数三、数四的解答题从13分降到11分，那么数一得解答题从9分增加到11分，所以完全一样了，所以解答题就没有什么区别了，过去数一数三即使有相同的题，数一是两问，数三是三问，现在要两问都两问，要一问都一问。那么从题目本身来看，我觉得今年概率难易程度跟去年差别不是很大，但是计算量比去年多一点。特别是积分的运算，重积分做题要花比较多的时间，而且这个做错的话，会直接影响到卷子的分数，因为数一和数三填空题和解答题里面几乎都是用了积分的运算。数一和数三，还有数四的选择题有一个题就第一个题，就关于独立重复实验的那个题，那个题是过去经常考的，也是比较熟悉的题的，那个题大家应该都会。那么第二个题出得特别好，考的X和Y的不相关，一般来说，不相关的话，并不等于独立，但是只有对二维正态的时候X，Y不相关，才和X，Y独立是等价的，如果这点要是知道的话，这个选择题应该很容易，否则这个题就不太好办了，而且像这个题就考二维正态分布的性质，这个题从题目给了这个条件的目的到底是要考我什么？所以一见到二维正态分布马上就要想到有关它的一些性质和知识。数一和数三这两个大题都是涉及连续性随机变量。那么从题型来看是属于常见的题型，比如给了一个联合分布，计算某一个事件相关的概率。再有就是给了一个二维随机变量计算，这两个随机变量函数的分布，这都是过去的常见的题型。但是呢，同样是常见的题型，那么怎么做可能就会直接影响到解题的时间。像23题的第二问，求X+Y的概率密度，数一的同学有可能比较熟悉，不独立和的卷积公式，那么做起来可能比较快。如果用分布函数再求密度，这个积分可能就会花比较长的时间。24题也是一个常见题型，不过过去就是求点估计的题，一般考试考最大似然估计考得比较多。那么这个考的是矩估计，也并不难，只要把矩和参数之间的关系求出来，应该是不困难的，但就是计算量要比较大。数四的24题考的是离散型的两个随机变量函数的分布，这个题比较容易，是属于基本知识，应该说大部分同学应该都会做。
李正元：今年第一次说解答题少了一道，改为两道选择，或者是选择填空，我们事先根据他们样卷解答题应该少掉计算题的，现在考试结果确实是这样的，证明题保留了，少掉的把一个大的计算题拆成两个选择，或者是选择填空，这点我想在以后的证明题，仍然还会有。其实我的看法，把解答题少了，选择题增加了对考试并不利。理由是因为只要是解答题，我会做几步，我肯定有分数，比方说像刚才那个证明题，实际上我如果写对一半还有一半的分数，那么选择题不会。哪怕会一点，会一部分但是结果错了，一分没有。只不过少解答题，多选择题对改卷方便，但是对学生并不利，所以学生更要注意做选择填空题，会做的一定要做对，会做，丢三落四，最后少了一个符号，实际你会做却一分没有。
李正元：但是选择题多了，考概念不会那么多，不好出，所以有很多是计算型的选择题。
主持人：刚才已经谈到命题方面的变动了，那么今后这种数学考试，这种趋势还会延续下去吗？
李永乐：我想可能应当，同学一定要全面复习，实际上题量增多了，所以考点应该是增加了。所以复习的过程一定要全面，不能有遗漏，再有一个可能要更加重视基本的概念，基本的方法，而且计算要准确。选择题考概念，选择题也有计算型的选择题，有一些基本计算，如果不熟练的话，那么做题就比较耽误时间。
主持人：能不能就试卷中的一些具体的题目，讲一些解题思路？
李正元：我想说这里面一个证明题，这也是一个解题应该注意的一些技巧。也许可能你并不能完整写出证明，但是可以写出一部分，也可以得到分数，比如这里面的19题。设函数f（x），g（x）在（a、b）上连续，在（a、b）内具有二阶导数且存在相等的最大值。f（a）=g（b），证明：存在c（a，b），使得f（g）=g（x）。这个题目首先要知道它是证明所谓的零点的存在性，如果我们引进一个函数，也就是把F（x），写作f（X）-g（x），由条件知道F（a）=F（b）=0，要证明存在一点C属于AB，那么（a，b），F在C点的二阶导数为零。要证明这个函数的二阶导数在某点是零，只要证明它的一阶导数有两个点相等，或者等于零也可以。要证明有两个一阶导数相等，因为这里已经有两个函数值相等了，F（a）=F（b）=0，我只要再证明一个函数值取值为零，这个问题就基本解决了，所以第一步就先归结为证明存在一点属于（a，b），F在这一点取值为零，现在有这三个点函数值是零了。能够想到这一步，就有分数了。如果说三点都是零，我们知道两点之间一定有导数是零，那么就得到两点导数是零，就可证明这中间有一点二阶导数是零。证明存在这一点F是零，变成了这个题的一个关键，也就是一步一步把这个问题做一个转换。这是我们的基本的一个想法，所以现在就变成了第一步，我们如何证明有这一点，函数值是零，题目条件还没有用上来。我们这里还有一个条件，f与g在（a，b）有相等的最大值，就是第一步就是先证明这句话。数三、数四把这个题目分成两步，第一步就是证明中间有一个零点，然后在这个基础上，如果第一道题不会做，你利用第一道题证明第二道题，那么第二道题也应该得分。数一没有分成两道题。数三、数四分成了两道题，按照我这样相当于分成两道题。假如第一道不会答，第二道可以用第一道的结果证明第二道题，就是有分数。如果它没分，如果分成两步，第一步不会，这步会了同样有分数，所以自己做证明题的时候，一定要自己分析，要思路清楚，要分解成若干步骤，我觉得关键步骤在评分上都有分数。这是做证明题一个重要的技巧，一个问题必须把它分成若干步骤。每一步都是关键的地方，如果都解决了，就全部证明完了。能解决一部分也有一部分的分数。考试里面这道题算是比较有难度的题目了。
主持人：李老师的分布解题思路可以给许多网友提供一下借鉴，那其他老师呢？
李永乐：我讲一道选择题吧，今年代数的选择题有这样一道题，给出的A和B两个矩阵，要判断这两个矩阵，是不是合同，是不是相似。那么像这道题，主要是考察同学判断相似和判断合同的基本方法，要判断相似的话，我想一个就是要用相似的必要条件来进行排除。那么像这道考题的话，给出的这两个矩阵不相似是很容易看出来的，因为A和B这两个矩阵，他们主对角线元素的和不相等。所以这样两个矩阵肯定是不相似的，所以这个不相似应该很容易看出来。那么它们俩合同不合同呢？两个矩阵合同不合同，就是要检查它们的二次型的正负惯性指数，不是相同。那么要检查二次型正惯性指数，和负惯性指数，我想应当有两个基本的方法，一个方法就是用配方法，把二次型化成标准型，然后读正惯性指数，和负惯性指数。另外一个方法就是求出它们的特征值。根据特征值正负的情况，来决定正负惯性指数，那么作为这道考题，矩阵A的特征值很容易求，我想大家具体求一下，这道题矩阵A的特征值应当是3、3、0。这样表明矩阵A正惯性指数应当是2，负惯性指数应当是0。这和矩阵B二次型正惯性指数2，负惯性指数0是完全一样的。既然是这样的A和B这两个正负惯性指数一定是相同的，所以对这道考题来说，正确的选项应当是B，合同但是不相似。
袁荫棠：数一和数三的概率题，一共是五个题，四个题都涉及到连续性随机变量，连续性随机变量就涉及到积分的问题，多数情况下，如果我们遇到连续性随机变量，需要求概率和积分的时候，最好事先画一个草图，把草图画出来以后，那么就有利于帮助我们正确的来确定积分线，或者正确的计算相应的概率。比如说第23题，设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=2-x-y，0小于x小于1，0小于y小于1。f（x，y）=0，其他，（1）求P（X大于2Y）。（2）求Z=X+Y的概率密度fz（z）。这个题目是二维连续型随机变量有关的题目，这第一问要求概率，求一个跟二维连续型随机变量有关的概率，那么实际上就是在对这个联合密度，在一个相应的区域上的重积分。所以这样我们必须把这个图画出来，这样才好将二重积分画成单积分，如图，首先把X等于2Y这条线画出来，那么X大于2Y就应该是图中阴影部分。所以第一问，这个概率就是PX大于2Y的这个概率，这个最基本的办法就是求概率在相应熟虑上的积分，应该是联合密度XY，积分的区域，就是X大于2Y的这个区域，所以就是G，G这个区域是三个条件，一个是x要大于2y，同时还要有x在（0，1）之间，那么y也要在（0，1）之间，把重积分化成单积分，有这个图就帮助我们正确的确定积分线。那么第二问仍然是个基本题，就是求两个随机变量函数的分布。两个随机变量的函数，考得比较多的就是两个随机变量的和，差，还有绝对值，最大值、最小值等等。还考过两个随机变量的乘积。那么两个随机变量和的分布，最基本的方法是求随机变量函数的分布函数。不管是一维随机变量，还是二维随机变量都应该先求分布函数，也就是要计算这样一个概率：F（z）=P（Z小于等于z）=P（X+Y小于等于z）。那么求这个分布函数，仍然是计算概率，就是计算X加Y小于等于Z这个概率，计算这个事件的概率，跟第一问是同样的方法，要对联合分布密度，在这个区域上进行一个二重积分，然后再把它化成单积分，然后具体的去做。那么这个题要注意的是什么呢，要注意的就是这个积分在z的不同的取值范围里面积分是不同的，要分段来做，Z在（0，1）之间，和Z在（1，2）之间这个积分的区域是不同的。如果是熟练的，准确的能够把积分算出来，那么这个题没有什么方法上的难度。但是要花比较多的时间，但是我们除了最基本的分布函数法以外，还有一个方法，对于两个随机变量函数之和，我们还有一个特殊的方法，就是卷积公式，大家比较熟悉的是两个独立的随机变量之和的卷积公式，不独立和的卷积公式大家会运用的话，这个和的密度的计算是很简单的。但是要注意积分线正确的选取。直接求密度，这是公式，我先把公式写出来，所以这个分数肯定有，下面要把联合密度，要换成具体的表达式，那么f（x，z-x）仅在某一个区域上不为零，所以要把f（x，z- x）要是换成具体的表达式的时候，对x的积分线不是负无穷到正无穷。这个时候要特别注意积分线的选择，x，z-x都要在（0，1）内，这个z应该是x到1+x之间，这个时候要用卷积公式应该再画另外一个图，如图，这个区域应该是平行四边形，所以就要分段，当z在（0，1）内的时候，x应该是从零积到z=x这条线，当是z是（1，2）的时候，x应该是z-1积到1，所以写的时候要分段。最后求出来的密度函数应该是三段。如果把图画得准确的话，那么对于帮助我们做题很有意的。另外选择你自己熟悉的方法，正确率会提高，选择比较简便的方法，会节约你解题的时间。
主持人：刚才三位老师为我们指点了一下解题思路，最后请三位老师对我们07年的考生，和08年即将报考的学生说几句话？
李正元：首先要全面复习，掌握最基本的概念，每年这个还是不变的，我想它考试的面还是比较宽的，知识面覆盖还是比较宽的。今年的题没有偏题，怪题。
袁荫棠：坚持基本概念，基本理论，基本方法，还有全面复习。另外今年没考的并不等于以后不考，今年像概率，大数定率经常考，但是今年数四，定率是新增加的大纲，所以它都没考。
李永乐：复习的过程一定不能浮躁，心态上一定要平和一点，复习的时候一定要认认真真，不能够老惦记着投机取巧。这个时候对基本概念也好，基本方法也好，一定要重视。因为现在考试就按照考试大纲，题目是很基本的。所以千万不要眼高手低，好像觉得每道题都会，要不就是复习的时候不认真，另外我想复习数学是一个慢工程，它不是一下子复习就可以复习好的。有些同学可能原来学习得不太好，再有一个考研的话，我想肯定比本科的学习的题目要难，不能够以校内的考题为标准，不能以校内的考题难易度为标准来衡量自己准备好没有，要提高一部分，像08年同学一定要抓紧，因为比如11月份，12月份，总有同学好像很多东西还没有复习，这本书也来不及看，那本书也来不及看，这个题也来不及，那个题也来不及，就反映动手动得比较晚，历年的真题一定要做，要做基本题。另外08年还要注意做好历年的真题。因为考研命题有连贯性，尽管年年会有一点新的花样，但是它的变化是在原来的基础上。所以就是要重视这个，要重视基本的东西。
主持人：最后谢谢三位老师为我们做出的点评，也希望各位网友继续关注搜狐考研频道。
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