数学：2023年考研数学真题点评
主持人：各位新浪网友大家下午好！欢迎大家光临我们的新浪嘉宾聊天室，我是娄雷。今天上午2023年考研数学已经结束了，我们邀请到铁军老师光临我们的聊天室，和大家共同关注今年的考研数学的一些真题情况。首先请铁老师先给大家简单从大概方面评论一下今年的考研数学题的难度。铁军：各位网友大家好！我们今年数学的考试基本上结束了，我们很多同学都会有自己的一些体会。今年填空题和选择题是大家比较容易做的，绝大部分的题都是答得很好，因为这个题大部分一个是我们讲过，另外一个，也和原来大家练习的题，还有以前的真题是相类似的。除了个别几个小题不太好做以外，其余的填空题和选择题一共16道题目，大家应该说这是64分，答个50分左右应该问题不是很大。
我们今年的难度主要是从大题这个方面体现出来，我们在考试之前就提醒大家有两点，第一个，前面的填空题和选择题时间要控制在40分钟到45分钟之间，这样的话留下主要的时间做后面的大题，我们很多同学也确实是这样做的，把一些前面的小题比较困难的就放一放，然后集中精力做后面的大题，这样做就能保证我们后面的大题有充分的时间来考虑。今年后面的大题是我们今年数学四题主要难点集中的地方，我们在考试之前冲刺还有点题的时候我反复和同学强调，今年的数学四题题目的难度不是很高，也就是说我们看到的数学一二三四的考试题，这些考试题都是我们最常见的一些题型，但是题目做起来并不顺手，很多同学有这样切身的体会，就是前面思路很简单，公式也都很容易，甚至我们说的一些变化的题干脆老师就没有出，出的都是我们在复习的过程中反复给大家练的一些基本的题型。这样的话大家做起来就往往是中间转折的地方会有一些困难，数学一二三四基本上都处于这样一个状态，这样的话，我们觉得今年数学的分数线不会太低，但是要比去年有所降低，因为每道大题如果大家答得都不完整，中间转折的地方，或者说拐弯的地方做不下去，这样的话势必要影响到我们的成绩，所以从题目来看，我们07年的数学四题要比06年还要简单。但是从做题的过程来看，它要比前几年的，就是05、06年都要难，这是我们这样的一个总体的印象。
主持人：铁老师，下面给我们大家逐步点评一下今年的试题。
铁军：好的，我们很多同学经过一年的努力，终于把考研进行到底，很多同学想静下心来休息一下，大部分同学还很关心自己的成绩，想看一看答题的思路，还有结果是否正确。我们把大题，主要把数学一二三四的大题和大家共同分析一下。
首先我们看今年的四题和前两年数学的四题有一个共同的地方，就是后面的大题，前面的小题也如此。前面选择题的五道小题基本上数学一二三四差不多是类似的，后面的大题也有两、三道大题基本上是一样的，我们复习的时候就要提醒大家，像我们领航在最近几年反复的安排课程这个过程中做的这样，就是文科和理科要在放在一起复习，因为我们这几年是数学一二三四理工类很多大题都是一样的，所有要求理工类难度率降低，经济类难度升高，从考试的试题来说也确实如此，因此下一届准备继续考研的同学，应该文科和理科在一起上课应该比较好。
我们看数学一的17题，是求一个二元函数在一个半圆内它的最大值和最小值。这样的题我们前两年出过，出过类似的问题，它的做法也基本上是一样的，首先要求这个二元函数在一个有解蔽区域内它的最大和最小值，我们先求在这个有借地区这个半圆里边，也就是半圆的内部它的极子点，或者说求得它可能取得极子的点，对于我们这题就是求它的可能极子助点，所以第一步就是求偏导数，令偏导数等于零，我们得到的助点就是三个，一个是坐标圆点，还有一个就是正负更号二一这两个点。这一共是三个助点，可以求二元函数的三个值，算完以后再求二元函数在圆周的边界线，这个半圆的边界线可能取得极子的点，边界有这么两个，一个是A的平方加Y方等于4，这是圆的方程，这是一个边界。另外一个边界就是Y等于零，这也是一个边界，就是X轴，我们就希望用拉布朗日求数法，第一个求这个二元函数在A的平方加Y方等于4，且Y大于这个条件下，或者Y大于等于零也行它可能的极子点。另外一个就是条件极子，求二元函数，在X轴上这个条件极子，设了两个拉布朗日函数，这个题基本上是白给分，它是比较基本的。
18题首先要添加一个平面，XOY做表面，也就是Z等于零，取上策还是下策，我们说都可以。大家要算三重积分，主要的18题难点就是计算三重积分，我们在最后冲刺题的时候给大家讲三重积分的计算，事实上我只给大家列了一种，就是计算三重积分的时候有两种做法，一种就是先二后一的做法，还有一种叫先一后二的方法，我们练的主要是先二后一，18题恰好就是先二后一的方法，我们也叫切片法。如果用切片法来算这个题就很简单，如果用穿针法这个题就很难做，主要的困难就集中在这个地方，最后的结果，刚才用三分钟的时间大概算了一下，也没验证，大家可以看一看是不是三分之π。
然后看数学一的大题19题，这是中值定理，我们19题甚至连辅助函数也不需要大家很复杂的设很多辅助函数，只要看都会写，但是看这个题的证明过程还有它的已知条件，很多同学基本上就写了那么一步两步，中间做不下去了。大概的思路应该是这样的，我们的已知条件说在两个函数F和G有二节保数，并且存在相等的最大值，很多同学对于这个相等的最大值处理的不好，相等的最大值是什么意思呢？就是在K区间AB内存在一点C，我们做题肯定要用到罗尔的理论，怎么来分析呢？首先我们设这样的一个辅助函数，令F(X)等于小f(X)减去G(X)，这就是我们讲的最简单的设辅助函数的做法，然后把区间端点A带到F(X)里面去，F(A)等于零，F(B)也等于零，接下来就设C和D是这两个函数，F(X)和G(X)在K区间里B内的最大值点。这样我们就设最大值为M，分成两种情况进行讨论，第一种情况，当这两个函数的最大值点，C等于D的时候，那么我们就知道C和D就是同一个点，F，我刚才设的辅助函数等于f(X)减去G(X)，对于这个辅助函数把这个相同的最大值点C带进去，F(C)就等于零，这样就有三个点的函数值相等，F(A)等于零，F(d)等于零，还有F(c)等于零，这样我们就知道用两次罗尔定理结论成立。这是一种情况。
第二种情况，当这两个函数f(X)和g(X)它的最大值点C和D不相等的时候，这个时候怎么做呢？我们这样来处理，计算F(c)这个c就是小F(X)的最大点，F(c)带进去算一算大于等于零，大家可以看一看，我设零点为ET，这样就有F(a)等于零，大F(b)等于零，又有三个函数值相等，再用两次罗尔定理，大家感到困难的就是设辅助函数没有问题，主要就是把已知条件中存在相等的最大值和最大值扁有机的联系在一起，这一点很多同学做不好，所以很多同学这个题没有做完整，但是我们看它只是做题不顺手，并不是很难，因为我们在点题班冲刺的时候和大家讲，这些证明题都是短小精悍的题，你只要把已知条件表述出来，然后推导一下，基本上就出来了，但是我们很多同学还是没有把已知条件完整的写出来，然后就想直接分析去做，结果没有做好。
我们再看数学一的第二十道大题，这个题计算量很大，我们说第一问，他要推导幂级数的系数，这个第一步很多同学用了十几分钟的时间应该能推出来，而且有的同学我相信一定做得也不错，因为这个就是把已知方程利用幂级数逐项求导的性质带到方程里去，这个系数怎么比较才能把第一问这个系数写出来，就是要把下标N都变成N等于零，因为我们求导以后求幂级数逐向求导，如果我们把下标全都变成N等于零，第一问基本上就推出来了。
20题难就难在第二问，很多同学拿过来第二问就想解，我们看到已知的这个方程不是我们学过的类型，也就是说它不是二阶常系数的方程，所以不好解，很多同学还在硬解，我们说这个就不可取，应该怎么做呢？你肯定做第二问是用第一问的结果来做，我们在冲刺的时候还给大家讲过即使第一问做不出来，利用第一问的结果做第二问这个也给分，很多同学应该想到这个问题。如果我们要做的话应该这样来考虑，用第一问数列AN的递推公式把数列AN推导出来，就是一项一项推导，写出前面几项，基本上这个数列AN的通解就出来了，然后把AN带到原来的幂级数里面去，然后逐项求导，再求和函数。这块就是一个拐弯的地方，我们很多同学都没有想到，说我应该用20题第一问的结果把AN这个数列写出来，而是集中精力解，最后发现解不了，结果发现就吃亏了。
21题这个就简单了一些，这是线性代数的问题，线性代数这个问题，21题这是方程组有公共解的问题，这个题很多同学我相信是做得很不错的，已知的一个方程组与另外一个方程有公共解，这就表示我把已知方程组和另外一个方程放在一起，就有四个方程，联立方程组，他们就应该有解。他们要有解的话四个方程放在一起构成的方程组就是非奇次线性代数组，大家进行初等行变换就把参数A算出来了，一个应该是1，另外一个是A等于2，这两个参数我们都带到原来的方程组里边去，这样分析两种情况，求出公共解，A等于2的时候公共解就是零解，A等于1的时候公共解就应该有无穷多解，这就是1、0、-1，这样一个向量再乘以K，这个题是白给分的。
数学一的第22大题，这是我们在临考试之前领大家主要练的一种，特征值特征向量的问题，还有一个就是相似矩阵的问题，而我们22道大题恰好是最基本的一种，只不过求特征值特征向量反过来，我们这个题是已知特征值特征向量然后再求矩阵，第一问很好验证，第二问要用到这个结论，也就是说矩阵A有三个不相等的特征值，然后矩阵A还是对称矩阵，所以说对称矩阵属于不同值的特征向量一定量两两聚焦，我们就解方程组求出另外的两个特征向量。这两个特征向量同时也是矩阵B的特征向量，后面我们就有好几种做法，怎么做是对的？我可以先把矩阵A算出来，这个可以做，因为矩阵A的三个线性无关的特征向量都找到了，实对称矩阵一定与对角矩阵相似，所以都单位化了，这样AP就会等于对角矩阵。也可以再把矩阵B的特征值算出，矩阵B的特征值是负2，然后1、1这样三个数。
再说23题，这两个题也是我们复习中重点练的，概率我们在前两天考试之前，在我们新浪网给大家讲预测的时候，给大家说过这样的问题，这样的题应该是最简单的一类，23题第一问求二位随机变量，求概率，就是划成二分积分来算，大家可以算一算，应该是这样的，23题第一问应该等于积分零到一DX，然后是积分零到二分之一X，最后的结果大家可以验证一下，因为我这是简单的算了一下，也没验证。
23题的第二问是两个随机变量的和，求它的概率密度，这个第二问如果要代入公式的话，求概率密度就不好算。我们第二问应该先算X加Y这个随机变量它的分布函数，求Z的分布函数，求Z的分布函数是这样几个范围，说当Z小于等于零的时候，Z的分布函数等于零，Z大于等于二的时候，Z的分布函数等于一，当Z在零和一之间的时候，Z的分布函数是一个表达式，当Z大于一小于二的时候，Z的分布函数又是一个表达式，把Z的范围分成四部分，这样分布函数就好求，求完了以后再求导数，X加Y等于Z，它的概率密度就算出来了。我们有的同学没有分成四部分，Z的范围就分成三部分，我们说他这个结果就是不完整的，也是不正确的。
大家再看数学一最后一道大题24题，这个题很多同学感觉奇怪，因为我们到最后点题班的时候给了一个题，就是概率的题，里边有一问就是求随机变量或者一个总体它的据估计量，很多同学都感觉这个太简单，都会，结果他给考出来了。这样的题它很简单，求个数学题就可以了。第二问判断只需要计算一个数学题，计算量不是很大。你比如我们数学一数理统计最后一道大题是我们点题班的47页，数学一23道大题就是二维随机变量这个问题，这是我们在点题班的时候重点给大家讲了，大家也可以看讲义，暑气讲义差不多和这个题是一个问题。
然后线性代数两道大题比较简单，数学一我们说曲面积分，这是我们重点讲的，求函数的极值，求多样函数最大值和最小值大家应该讲的比较好。中值定理，罗尔定理这是很简单的，幂级数我们说一定做大题，主要要考三种题型，证明，求幂级数的和函数，还有把一个函数展开成关于X的幂级数，这样数学一20道大题考的第二问是求幂级数的和函数。数学三正好是另外一种题型，把一个函数展开成关于X的幂级数，直接带进去算就可以了，原来叫大家背六个公式，大家只要把它套进去马上就能做出来，这是数学一大题大概的情况。
下面再说一说数学二的大题，数学二这个大题大家可以看，说第17道大题，这个比较简单，再有就是数学二的第18道大题，这是求面积，求体积的问题，主要是求体积，旋转体的体积，本来我们说反常积分应该考试出大题，我们数学二通过18题的几何应用考察了反常积分，所以这个题不难，因为是我们练过的，直接算就可以了。
但是数学二的19题比较难，数学二19题在讲课的时候给大家说，数学一和数学二要考，把19题划成了一阶微型方程，需要大家变变形，求DX比DP，把X当做函数，P当做自变量。
数学二20题，这是比较简单的，这是求导数的问题，数学二21道大题和刚才数学一的大题是重合的，数学二第23大题，24大题也是和数学一重复的。数学二的22题，这个题我们说计算的时候要有一些麻烦，我们在冲刺班和点题班的时候给大家预测，这个题计算量很大，我们画图的时候大家可以看到，由于碑碣函数是一个分段函数，我们在冲刺班给大家讲课的时候说只有一种积分还没有考，就是求分段函数的二成积分，现在考的就是这个问题。22题应该怎样算呢？先在小的区域内，X绝对值加Y的绝对值小于等于一这个区域内计算X平方的二乘积分，然后再计算在X绝对值加Y的绝对值小于等于一这个区域内。这是一个计算量很大的题，所以我们数学二大家可以看到，就是大题里面有这么几个题不好做，一个就是19道大题需要拐个弯，然后还有一个22题计算量很大，再有就是21题证明题，我们的已知条件不太会用，其他的题应该做得都比较好，所以我们说今年数学应该答得要比数学一好一点。
我再说一下数学三大题的情况，数学三前面的小题很多，数学三和数学四的二乘积分的计算大题是一个题，都是计算分段函数算二成积分，计算量特别大，如果对于计算二来说18题不算难题的话，数学三和数学四难度很大，很多同学最後的结果是算不出来的。然后再看数学三的19道大题，19道大题要简单一些，要比数一和数二出题的方式简单一些，因为设置了一个阶梯，设置了一个阶梯这样就保证了我们19道大题它的难度就降低了，它的做法大家可以像我刚才说的那样来做，只不过数三的题设置了一个阶梯，降低了难度。今年最高兴的就是数三的20题，这是幂级数的问题，这个直接一算就可以了，这个题我们大家做得都好。
数三线性代数的大题和数一数二是一样的，今年我们数学三概率的难度降低了，每一年一般的规律都是数学三的概率大题要比数学一难一些，今年数学三管理类的同学数学的卷子应该答得好一点。
下面再说说数学四试卷，这套卷子很多题目是前面都讲过的，二乘积分的题，数学二数学三是一个题，综值定理的证明题数学一二三四是同一个题，我们最高兴的是数学四第20道大题，大家可以看我们点题班的讲义，第一道题恰好就是我们数学四考的20题这样一个函数，这个函数就是含参变量的定级分，我们当时重点讲这个参变量X要提到积分号外面，大家只要知道这个事一求导这个题就结束了。所以我们20道大题，凡事听课的同学，参加领航辅导班的同学应该答得非常好。再看数学四线性代数的大题，数学一二三四是同一个题，所以这个题也没什么说了，难度差不多。数学四23道大题，这个比较好算，前面也讲了。数学四24题最后一道大题是比较容易的，但是遗憾的是我们很多同学考试的时候没有答完，这个就涉及到临考试之前我给大家讲的，后面的题你要会做的话可以先做，有经验也有教训，考完试一切也都结束了，说别的也没有用，我们希望下一届同学要注意这个问题。数学四第24道大题，就是要算X等于一二，Y等于一二，再设两个新的随机变量，最大值最小值求概率分布，只要算基本的概率公式就能算，所以我们说凡事没答完的数学四最后一道大题是非常遗憾的，老师也感觉遗憾。
从整体的卷子来看，给大家分析了一下大题，我们感觉今年的试题出的第一点就是紧扣大纲，而且都是我们大家重点复习的内容，重点考察的还是基础知识和基本技能，所以很多同学前面的小题还有很多大题应该发挥得比较好，同时我们又看到后面的大题每张卷子都有三道大题是比较灵活的，从做题的过程看很不顺手，这样就涉及到考察能力和灵活性的问题，这个可以把我们数学的分数拉开差距，所以今年的四题应该说重点突出，而且没有超过我们复习的范围，我们觉得出得比较好。
网友：今年的题是比去年难吧？会不会在批试卷的时候放松审查的宽度，保证分数线，还是与去年持平？
铁军：是这样的，我们说今年，刚才我讲每张卷子至少都有三道大题是比较难的，从题目来看思路不难，所以大家都能前面写一下，就是说能开头，但是中间转折的地方可能写不好，包括后面的计算，计算量极大，很多同学结果没有算出来。这样的话分数肯定要比去年低一些，但是能不能说这张卷子比去年难，我们说不能这样讲，因为去年我们的题里面也有难题，我们今年前面的小题，填空和选择基本上都是大家比较容易做的，这个分数就提上去了，后面这个题目肯定要有一些难度，有一些灵活性。这样就导致我们今年的分数线比去年不会提高，但是也降低不了多少，从分数线来看是这样的，但是每个人答的成绩那就不同了。从批卷子的尺度来看，我们说评分的细则按正常的话还应该是从严，因为去年我们就是比较分数，今年所谓严，不是说都做完了其中一步或者最后一个结果错了就不给分，不是这样的，还是按照步骤给分。因为我们每张卷子的几道大题大家答得不好的，往往都有共同的地方，这样不会影响我们总体的成绩。
主持人：谢谢铁老师，也谢谢我们在线的网友一直关注我们的聊天，谢谢大家！
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